题目

如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，延长AC交△DCE的外接圆于点F，DF= ． （Ⅰ）求BD；（Ⅱ）若∠AEF=90°，AD=3，求DE的长． 答案：解：（Ⅰ）在△ABC的外接圆中，∠ABC=∠AEC， △DCE的外接圆中，∠DEC=∠DFC，∴∠ABC=∠DFC， ∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AFD，∴ BD=DF=14 （Ⅱ）设DE=x，∠AEF=90°， DF=14 ， EF=14−x2 ， 由（Ⅰ）同理可得∠BAD=∠BCE，∠DCE=∠DFE，∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠DFE，∴△AFE∽△FDE，∴ AEEF=EFDE ， 则 3+x14−x2=14−x2x ，∴2x2+3x﹣14=0，∴x=2（ x=−72 不合题意，舍去），∴DE=2

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