题目

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD DF，连接CF、BE． （1） 求证：DB DE； （2） 求证：直线CF为⊙O的切线； （3） 若CF 4，求图中阴影部分的面积. 答案： 证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE. 证明：连接CD. ∵DA平分∠BAC， ∴∠DAB=∠DAC， ∴BD=CD， 又∵BD=DF， ∴CD=DB=DF， ∴ ∠ B C F = 90 ° ， ∴BC⊥CF， ∴CF是⊙O的切线。 解：连接OD.∵O、D是BC、BF的中点，CF = 4， ∴OD = 2.∵CF是⊙O的切线，∴ ∠BOD=∠BCF=90°.∴△BOD为等腰直角三角形. ∴S阴影部分 = S扇形OBD − S△OBD =14×π×22−12×2×2=π−2

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