题目

刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ， 故其各个顶点的曲率均为 ． 如图，在直三棱柱中，点A的曲率为 ， N，M分别为AB，的中点，且 ． （1） 证明：平面 ． （2） 证明：平面平面 ． （3） 若 ， 求二面角的正切值． 答案： 证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC,AB⊂平面ABC，则AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以点A的曲率为2π−2×π2−∠BAC=2π3，所以∠BAC=π3，因为AB=AC，所以△ABC为正三角形，因为N为AB的中点，所以CN⊥AB，又因为AA1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN，又因为AA1∩AB=A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，所以CN⊥平面ABB1A1． 证明：取AB1的中点D，连接DM，DN，因为N为AB的中点，所以DN//BB1且DN=12BB1．又因为CM//BB1且CM=12BB1，所以DN//CM且DN=CM，所以四边形CNDM为平行四边形，则DM//CN，由（1）知CN⊥平面ABB1A1，则DM⊥平面ABB1A1，又因为DM⊂平面AMB1，所以平面AMB1⊥平面ABB1A1． 解：取BC的中点F，连接AF，则AF⊥BC，因为BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，所以BB1⊥AF，因为BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面BB1C1C，所以AF⊥平面BB1C1C，又因为B1M⊂平面BB1C1C，所以AF⊥B1M，过F作B1M的垂线，垂足为H，连接AH，则B1M⊥FH，又因为AF∩FH=F,AF、FH⊂平面AFH，所以B1M⊥平面AFH，又因为AH⊂平面AFH，AH⊥B1M，所以∠AHF为二面角A−MB1−C1的平面角的补角，设B1M∩BC=E，AB=2，则AF=3，EF=1+2=3，ME=22，由等面积法可得12ME⋅FH=12EF⋅CM，则FH=EF⋅CMME=3×222=32，则tan∠AHF=AFFH=63，故二面角A−MB1−C1的正切值为−63． 

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