题目

已知椭圆C： ，F1 ， F2分别为左右焦点，在椭圆C上满足条件 的点A有且只有两个 （1） 求椭圆C的方程 （2） 若过点F2的两条相互垂直的直线l1与l2 ， 直线l1与曲线y2=4x交于两点M、N，直线l2与椭圆C交于两点P、Q，求四边形PMQN面积的取值范围． 答案： 解：∵在椭圆C上满足条件 AF1→⋅AF2→=0 的点A有且只有两个， ∴A点为椭圆短轴两端点，则b=c=1，∴a2=b2+c2=2，则椭圆C的方程为： x22+y2=1 解：令M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0， 求得|MN|=4，|PQ|=2 2 ，则 SPMQN=42 ；当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣1）（k≠0），联立 {y=k(x−1)y2=4x ，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．则 x1+x2=4k2+2,x1x2=1 ，|MN|= 1+k2⋅(4k2+2)2−4=4k2+4 ．∵l1⊥l2，∴直线l2的方程：y=﹣ 1k(x−1) ．令P（x3，y3），Q（x4，y4），联立 {y=1k(x−1)x22+y2=1 ，得（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0． x3+x4=42+k2,x3x4=2−2k22+k2 ．∴|PQ|= 1+1k2⋅(42+k2)2−4×2−2k22+k2 = 22(1+k2)2+k2 ．∴ SPMQN=12|MN||PQ| = 42(1+k2)2k2(2+k2) ．令t=1+k2（t＞1），∴ SPMQN=42t2t2−1=42(1+1t2+1) >42 ．∴四边形PMQN面积的取值范围是 S≥42

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