题目

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C1: （t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为(1，0)，曲线 （Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程; （Ⅱ）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点求|PA|+|PB|的取值范围 答案：解：（Ⅰ） {x=1+tcosθ,y=tsinθ ，消去 t 得到曲线 C1 的普通方程为： xsinθ−ycosθ−sinθ=0 ， ρ2=123cos2θ+4sin2θ ， ρ2(3cos2θ+4sin2θ)=12 ，即 3x2+4y2=12 ， 即曲线 C2 的普通方程为： x24+y23=1 . （Ⅱ）将 C1:{x=1+tcosθy=tsinθ （ t 为参数）代入 C2 ： x24+y23=1 ， 化简整理得： (sin2θ+3)t2+6tcosθ−9=0 ， 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 ，则 Δ=36cos2θ+36(sin2θ+3)=144>0 恒成立， t1+t2=−6cosθsin2θ+3,t1t2=−9sin2θ+3 ， ∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=12sin2θ+3  ， ∵sin2θ∈[0,1]   ∴|PA|+|PB|∈[3,4] .

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