题目

（1） 问题情境： 如图1， ， ， .求 度数.小颖同学的解题思路是：如图2，过点 作 ，请你接着完成解答. （2） 问题迁移： 如图3， ，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时， ， .试判断 、 、 之间有何数量关系？（提示：过点 作 ），请说明理由； （3） 在（2）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你猜想 、 、 之间的数量关系并证明. 答案： 解：过 P 作 PE//AB ， ∵AB//CD ， ∴PE//AB//CD ， ∴∠APE+∠PAB=180° ， ∠CPE+∠PCD=180° ， ∵∠PAB=128° ， ∠PCD=119° ∴∠APE=52° ， ∠CPE=61° ， ∴∠APC=52°+61°=113°   解： ∠CPD=∠α+180°−∠β ，理由如下： 如图3，过 P 作 PF//AD 交 CD 于 F ， ∵AD//BC ， ∴AD//PF//BC ， ∴∠ADP=∠DPF ， ∠BCP=∠CPF ， ∵∠BCP+∠PCE=180° ， ∠PCE=∠β ， ∴∠BCP=180°−∠β 又 ∵∠ADP=∠α ∴∠CPD=∠DPF+∠CPF=∠α+180°−∠β 解：①当 P 在 BA 延长线时（点 P 不与点 A 重合）， ∠CPD=180°−∠β−∠α ； 理由：如图4，过 P 作 PF//AD 交 CD 于 F ， ∵AD//BC ， ∴AD//PF//BC ， ∴∠ADP=∠DPF ， ∠BCP=∠CPF ， ∵∠BCP+∠PCE=180° ， ∠PCE=∠β ， ∴∠BCP=180°−∠β ， 又 ∵∠ADP=∠α ， ∴∠CPD=∠CPF−∠DPF=180°−∠α−∠β ； ②当 P 在 BO 之间时（点 P 不与点 B ， O 重合）， ∠CPD=∠α−180°+∠β . 理由：如图5，过 P 作 PF//AD 交 CD 于 F ， ∵AD//BC ， ∴AD//PF//BC ， ∴∠ADP=∠DPF ， ∠BCP=∠CPF ， ∵∠BCP+∠PCE=180° ， ∠PCE=∠β ， ∴∠BCP=180°−∠β ， 又 ∵∠ADP=∠α ∴∠CPD=∠DPF−∠CPF=∠α+∠β−180° .

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