题目

在 中， 是 的角平分线，点 在射线 上， 于点 ， 平分 交直线 于点 ． （1） 如图1，点 在线段 上，若 ， ． ① 　▲　；（用含 的式子表示） ②求证： ； （2） 如图2，点 在 的延长线上， 交 的延长线于点 ，用等式表示 与 的数量关系，并证明． 答案： 解：① ∵∠A=90° ， ∠M=α ， ∴∠AEM=90°−α ， ∵EM 平分 ∠AEF ， ∴∠AEF=2∠AEM=180°−2α ， 故答案为： 180°−2α ； ②证明： ∵EF⊥BC ， ∴∠EFC=90° ， ∴∠C+∠CEF=90° ， ∵∠A=90° ， ∴∠C+∠ABC=90° ， ∴∠CEF=∠ABC ， ∵∠AEF=180°−2α ， ∴∠CEF=2α ， ∴∠ABC=2α ， ∵BD 是 △ABC 的角平分线， ∴∠ABD=12∠ABC=α ， ∴∠ABD=∠M ， ∴BD//ME ； 2∠BNE=90°+∠BAC ， 证明：设 ∠ABD=x ， ∠AEM=y ， ∵BD 平分 ∠ABC ， EM 平分 ∠AEF ， ∴∠ABC=2x ， ∠AEF=2y ， ∵∠ABD+∠BAD=180°−∠ADB ， ∠NED+∠END=180°−∠NDE ， ∵∠ADB=∠NDE ， ∴∠ABD+∠BAD=∠NED+∠END ， ∴x+∠BAD=y+∠END ， ∴x−y=∠END−∠BAD ， 同理， ∠ABC+∠BAC=∠FEC+∠EFC ， ∴2x+∠BAC=2y+∠EFC ， ∴2x−2y=∠EFC−∠BAC ， ∵EF⊥BC ， ∴∠EFC=90° ， ∴2(x−y)=90°−∠BAC ， ∴2(∠END−∠BAD)=90°−∠BAC ， 即 2(∠BNE−∠BAC)=90°−∠BAC ， ∴2∠BNE=90°+∠BAC ．

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