题目

如图所示，竖直平面内有四个相同的足够长的矩形区域、高度均为 ， 区域Ⅰ中存在竖直向下的匀强电场，区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中存在垂直于纸面向里的匀强磁场、其磁感应强度大小之比为 ， 区域Ⅳ下边界放置一块水平挡板，可吸收打到板上的粒子。零时刻，在纸面内从点向各个方向范围均匀发射带电量为、质量为、初速度为的带正电粒子，其中水平向右射出的粒子第一次进入区域Ⅱ时速度方向与水平方向成 ， 且刚好经过区域Ⅱ的下边界。粒子重力以及粒子间的相互作用不计。求： （1） 电场强度大小； （2） 水平向右射出的粒子经过区域下边界的时刻； （3） 打在挡板上的粒子数占射出总粒子数的比例。 答案： 解：设水平向右射出的粒子第一次进入区域II时的速度大小为 v ，有v=v0cos60∘=2v0根据动能定理有Eqd=12mv2−12mv02解得E=3mv022qd 解：设水平向右射出的粒子第一次进入区域II时速度竖直方向分量为vy，则vy=v0tan60∘粒子从水平射出到第一次射出电场的时间t1=2dvy=23d3v0粒子在区域Ⅱ运动的半径满足R1−cos60∘=d得R=2d粒子从第一次到区域Ⅰ下边界到第二次经过区域Ⅰ下边界的时间t2=120∘360∘×2πRv=2πd3v0当粒子向下经过区域Ⅰ下边界的时刻T1=t1+n2t1+t2即T1=2n+123d3v0+n2πd3v0n=0，1，2，⋯当粒子向上经过区域Ⅰ下边界的时刻T2=t1+t2+n2t1+t2即T2=2n+123d3v0+n+12πd3v0n=0，1，2，⋯ 解：设粒子从O点射出时与水平方向成θ角，运动到区域Ⅳ，轨迹刚好与挡板相切，经过区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的下边界时水平分速度的大小分别为v0cosθ、vx、vx、2v0粒子在区域Ⅱ中运动时，取极短时间Δt，由水平方向的动量定理qvyB1Δt=mΔvx两边求和有qB1ΣvyΔt=mΣΔvx代入得qB1d=mvllx−v0cosθ同理在区域Ⅲ、Ⅳ中运动时，分别有qB2d=mvx−vxqB3d=m2v0−vx累加可得qdB1+B2+B3=m2v0−v0cosθ根据洛伦兹提供向心力qvB1=mv2R求得θ=60∘则η=90∘−30∘90∘=13

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