题目

△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts． （1） 若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）； （2） 线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由； （3） t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 答案： 解：当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AM•tan60°= 3 t．∴y= 12 t• 3 t= 32 t2（0≤t≤1）．当点P在BC上时，PM=BM•tan30°= 33 （4﹣t）．y= 12 t• 33 （4﹣t）=﹣ 36 t2+ 233 t（1≤t≤3） 解：∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t．∴QN=BN•tan30°= 33 （3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即 3 t= 33 （3﹣t），∴t= 34 ．∴当t= 34 s时，四边形MNQP为矩形 解：由（2）知，当t= 34 s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时 CQCP =tan30°= 33 ．∵ AMAP =cos60°= 12 ，∴AP=2AM=2t．∴CP=2﹣2t．∵ BNBQ =cos30°= 32 ，∴BQ= BN32=233 （3﹣t）．又∵BC=2 3 ，∴CQ=2 3−233(3−t)=23t3 ．∴ 23t32−2t=33 ， t=12 ．∴当 t=12 s或 34 s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似

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