题目

如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝∠DBO． （1） 求证：AC＝BC； （2） 如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长； （3） 在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 答案： 证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，在△ACD和△BCD中，{∠CAO=∠DBO∠ACD=∠BCDCD=CD，∴△ACD≌△BCD（AAS），∴AC=BC； 解：如图2，过点D作DM⊥AC于M，∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，∴DO=DM，在△BOD和△AMD中，{∠DBO=∠DAM∠BOD=∠AMDDO=DM，∴△BOD≌△AMD（AAS），∴OB=AM，在Rt△DOC和Rt△DMC中，{DO=DMDC=DC，∴Rt△DOC≌Rt△DMC，∴OC=MC，∵∠CAO=∠DBO，∠DEA=∠DBO，∴∠DAE=∠DEA，∵DM⊥AC，∴AM=EM，∴OB=EM，∵C(4，0)，∴OC=4，∴BC+CE=OB+OC+MC-EM=2OC=8； 解：GH=OG+FH；证明：如图3，在GO的延长线上取一点N，使ON=FH，∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，∴DO=DF，在△DON和△DFH中，{DO=DF∠DON=∠DFHON=FH，∴△DON≌△DFH（SAS），∴DN=DH，∠ODN=∠FDH，∵∠GDH=∠GDO+∠FDH，∴∠GDH=∠GDO+∠ODN=∠GDN，在△DGN和△DGH中，{DN=DH∠GDN=∠GDHDG=DG，∴△DGN≌△DGH（SAS），∴GH=GN，∵ON=FH，∴GH=GN=OG+ON=OG+FH．

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