题目

如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2 ， 试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角． 答案：解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为22；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为22；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±22，即有交点为（±22，2）；设双曲线的方程为x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0），则8a2﹣4b2=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为x24﹣y24=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣22，0），F2（22，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由 x2+y2=8x2-y2=4，解得x2=6，y2=2；由x2+y2=8x2+y±22=8，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±6，2）和（±6，﹣2）．

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