题目

设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1． （1） 证明：ab+bc+ca<0； （2） 用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ． 答案： 解： ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0 ， ∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2) . ∵a,b,c 均不为 0 ，则 a2+b2+c2>0 ， ∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)<0 解：不妨设 max{a,b,c}=a ， 由 a+b+c=0,abc=1 可知， a>0,b<0,c<0 ， ∵a=−b−c,a=1bc ， ∴a3=a2⋅a=(b+c)2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4 . 当且仅当 b=c 时，取等号， ∴a≥43 ，即 max{a,b,c}⩾43

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