题目

在长方体 中，底面 是边长为2的正方形． （1） 若 为 的中点，试在 上确定一点 ，使得 平面 ； （2） 直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积． 答案： 解：当 N 为 C1D1 的中点时， A1B// 平面 B1MN ． 如图，取 C1D1 的中点为 N ，连结 MN ， B1M ， B1N ，  CD1 ． 因为 A1D1//__BC ， 所以四边形 A1BCD1 为平行四边形， 所以 A1B//CD1 ． 因为 M ， N 分别为 CC1 ， C1D1 的中点， 所以 MN//CD1 ．所以 MN//A1B ． 又 MN⊂ 平面 B1MN ， A1B⊄ 平面 B1MN ，所以 A1B// 平面 B1MN ． 如图，过点 B 作 BH⊥B1C 于点 H ，连结 A1H ． 因为 CD⊥ 平面 B1BCC1 ， BH⊂ 平面 B1BCC1 ， 所以 CD⊥BH ，又 B1C∩CD=C ， B1C，CD⊂ 平面 A1DCB1 ． 所以 BH⊥ 平面 A1DCB1 ． 所以直线 A1B 与平面 A1DCB1 所成的角为 ∠BA1H=30° ， 在 Rt△A1BH 中， BH=12A1B ， 由已知长方体 ABCD−A1B1C1D1 的四个侧面为全等的矩形，所以 BH=12A1B=12B1C ． 所以点 H 为 B1C 的中点． 所以 BB1=BC=2 ， B1C=22 ， BH=2 ， 四棱锥 B−A1B1CD 的体积 V=13×SA1DCB1×BH=13×2×22×2=83 ．

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