题目

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使 ， 将一直角三角板（ ， ）的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OA上，另一边ON在直线AB的下方.同学们按下列方式玩这块三角板. （1） 将图1中的三角板绕点O顺时针旋转一个锐角，使一边OM落在射线OC上，求 的度数； （2） 将图1中的三角板绕点O顺时针旋转一个锐角至图2的位置，使一边OM在 的内部，六个学习小组边玩边测量得到下列数据： 组别角 1 2 3 4 5 6 根据表中数据，你猜想 与 之间满足什么等量关系？这一猜想是否正确？并说明理由； （3） 将图1中的三角板绕点O以每秒 的速度顺时针旋转一周，同时将射线OC绕点O以每秒 的速度顺时针旋转至射线OB，在旋转过程中，是否存在某时刻t，使直线OM恰好平分 ？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由. 答案： 解：因为 ∠ A O C + ∠ B O C = 1 8 0 ° ， ∠ A O C ： ∠ B O C = 1 ： 2 ， 所以 ∠ A O C = 6 0 ° ， ∠ B O C = 1 2 0 ° ， 因为 ∠ M O N = 9 0 ° ，所以 ∠ A O N = 9 0 ° − 6 0 ° = 3 0 ° ； 猜想： ∠ A O N − ∠ M O C = 3 0 ° ， 因为 ∠ A O N + ∠ A O M = 9 0 ° ， ∠ A O M + ∠ M O C = 6 0 ° ， 所以 ∠ A O N − ∠ M O C = 9 0 ° − 6 0 ° = 3 0 ° ， 所以猜想是正确的； 存在时刻t，使直线OM恰好平分 ∠ A O C . 分两种情况：①当OM平分 ∠ A O C 时， ∠ A O M = 1 5 t ， ∠ A O C = 6 0 + 5 t ， 所以 6 0 + 5 t = 2 × 1 5 t ， 解得 t = 2 . 4 （秒）； ②当OM的反向延长线平分 ∠ A O C 时，如图， 因为 ∠ A O D = 1 5 t − 1 8 0 ， ∠ A O C = 6 0 + 5 t ， 所以 2 ( 1 5 t − 1 8 0 ) = 6 0 + 5 t ，解得 t = 1 6 . 8 （秒）； 综上所述，存在时刻t，当 t = 2 . 4 秒或16.8秒时，使直线OM恰好平分 ∠ A O C .

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