题目

如图，△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，点P是线段AC上一动点，PE//BC交射线BD于点E，连接AE，点是点E关于AC的对称点. （1） 线段BC＝，AC＝； （2） 在点P从点C运动到点A的过程中，△AEB是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当△AEB是等腰三角形时，CP所有可能的长；若不可能，请说明理由； （3） 当点恰好落在线段BC上时，PC＝. 答案： 【1】2+23【2】26 解：过点D作DQ⊥BC于Q， ∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠DBC-30°， 设CQ=x，则BQ=BC-CQ=2+23-x， 在直角三角形△BQD中，∠DQB=30°， ∴DQ=12BD， 勾股定理可得：BQ=32BD， ∴DQBQ=33， ∴DQBQ=x2+23−x=33， 求得x=2即DQ=CQ=2，BQ=23， ∴BD=DQ2+BQ2=4，DC=DQ2+CQ2=22， 由题意，△AEB是等腰三角形，故有三种情况： ①当AB=AE时，∠ABE=∠AEB=30°， ∴∠BAE=180°-30°-30°=120°， ∵∠ABC=60°，∠BAE=120°， ∴AE//BC， ∵PE//BC，P为AC上一动点， ∴点P与点A重合，即PC=AC=23， ②当AB=EB时，EB=AB=2， ∵BD=2，AB=2，EB=AB=2， ∴点D与点E重合（点E在BD上）， ∴点P与点E重合，即PC=CD=22， ∵此时不满足PE//BC， ∴不存在； ③当AE=BE时，过点E作EM⊥AB于M， 在直角三角形△BME中，BM=12AB=2，∠MBE=30°， ∴ME=12BE， 勾股定理可得：MB=32BE， ∴BMBE=32， ∴BE=232=33， 过点E作EH⊥BC，PG⊥BC， 在直角三角形△BHE中，BE=33，∠HBE=30°， ∴EH=12BE=36， ∵四边形EHGP是矩形， ∴PG=EH=36， 在直角三角形△PGC中，∠PCG=45°， ∴PG=GC=36， 由勾股定理可得：PC=PG2+CG2=66  综上，CP可能的长为23或66. 【1】236+22

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