题目

已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1） 讨论f（x）的单调性； （2） 若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 答案： 解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，当a=0时，f′（x）=2ex﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+ 12 ）（ex﹣ 1a ），令f′（x）=0，解得：x=ln 1a ，当f′（x）＞0，解得：x＞ln 1a ，当f′（x）＜0，解得：x＜ln 1a ，∴x∈（﹣∞，ln 1a ）时，f（x）单调递减，x∈（ln 1a ，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（ex+ 12 ）（ex﹣ 1a ）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln 1a ）是减函数，在（ln 1a ，+∞）是增函数； ①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②a＞0时，由（1）可知，当x=-lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（-lna）=1-1a-ln1a，当a=1时，f（-lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，有1-1a-ln1a＞0，即f（-lna）＞0故f（x）没有零点当a∈（0，1）时,1-1a-ln1a＜0，f（-lna）＜0有f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2＞-2e-2+2＞0故f（x）在（-∞，-lna）有一个零点假设存在正整数n0，满足n0＞ln（3a-1），则f（n0）=en0aen0+a-2-n0＞2n0-n0＞0有ln（3a-1）＞-lna因此在（-lna，+∞）有一个零点∴a的取值范围是（0,1）.

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