题目

在中，角的对边分别为 ， ， 且 （1） 求角的值； （2） 若 ， 且的面积为 ， 求边上的中线的长. 答案： 因为asinBcosC+csinBcosA=12b，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB，∵sinB≠0∴sinAcosC+sinCcosA=12，∴sin(A+C)=12=sin(π−B)，∴sinB=12.又a≥b，所以0<B<π2，可得B=π6. 由（1）知B=π6，若A=π6，则a=b，C=2π3，∵S△ABC=12absinC=12a2sin2π3=43，∴a=4，a=−4（舍）.又在△AMC中，由余弦定理得AM2=AC2+MC2−2AC⋅MCcos2π3∴AM2=AC2+(12AC)2−2AC⋅12ACcos2π3=42+22−2×4×2×(−12)=28，所以AM=27.

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