题目

如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（- 3，4），点B的坐标为(6，n). （1） 求该反比例函数和一次函数的解析式； （2） 连接OB，求△AOB 的面积； （3） 在x轴上是否存在点P ， 使△APC是直角三角形. 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：将 A(−3，4) 代入 y=mx ，得 m=−3×4=−12. ∴反比例函数的解析式为 y=−12x ； 将 B(6,n) 代入 y=−12x ，得 6n=−12， 解得 n=−2， ∴B(6，−2). 将 A(−3，4) 和 B(6，−2) 分别代入 y=kx+b(k≠0) 得 {−3k+b=46k+b=−2, ， 解得 {k=−23b=2, ， ∴所求的一次函数的解析式为 y=−23x+2. 解：当 y=0 时， −23x+2=0， 解得： x=3，∴C(3，0). ∴S△AOC=12×3×4=6. ∴S△BOC=12×3×2=3. S△AOB=6+3=9. 解：存在． 过A点作 AP1⊥x 轴于 P1 ， AP2⊥AC 交x轴于 P2 ，如图， ∴∠AP1C=90°， ∵A 点坐标为 (−3，4)， ∴P1 点的坐标为 (−3，0). ∵∠P2AC=90°， ∴∠P2AP1+∠P1AC=90°， 而 ∠AP2P1+∠P2AP1=90°， ∴∠AP2P1=∠P1AC， ∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1， AP1CP1=P1P2AP1, 即 46=P1P24, P1P2=83, ∴OP2=3+83=173. ∴P2 点的坐标为 (−173,0). ∴满足条件的p点坐标为 (−3，0), (−173,0).

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