题目

如图，MP为一水平面，其中MN段光滑且足够长，NP段粗糙。MN上静置有一个光滑且足够高的斜面体C，P端右侧竖直平面内固定一光滑的圆弧轨道PQ，圆弧轨道与水平面相切于P点。两小球A、B压缩一轻质弹簧静置于水平面MN上，释放后，小球A、B瞬间与弹簧分离，一段时间后A通过N点，之后从圆形轨道末端Q点竖直飞出，飞出后离Q点的最大高度为0.5L，B滑上斜面体C后，在斜面体C上升的最大高度为。已知A、B两球的质量均为m，NP段的长度和圆弧的半径均为L，A球与NP间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g，A、B分离后立刻撤去弹簧，A球始终未与斜面体C发生接触。‍‍ （1） 求小球A第一次通过P点时对圆形轨道的压力大小； （2） 求斜面体C的质量。 （3） 试判断A、B球能否再次相遇。 答案： 解：设小球A经过P点的速度为vP，从P点运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得12mvP2=mg⋅1.5L设A在P点受到圆形轨道的支持力为N，由牛顿第二定律得N−mg=mvP2L联立解得N=4mg据牛顿第三定律可知，A对圆形轨道的压力大小为4mg 解：设刚分离时A的速度为v1，A从分离时到运动至P点的过程中，据动能定理可得−μmgL=12mvP2−12mv12设刚分离时B的速度为v2，在A、B分离的过程中，据动量守恒定律可得mv1=mv2设斜面体C的质量为mC，B在C上达到最大高度时，B与C共速，设此时两者速度为v3，B从分离时到滑上C最高点的过程中，水平方向动量守恒，可得mv2=(m+mC)v3据机械能守恒定律可得12mv22=12(m+mC)v32+mg⋅L4联立解得mC=13m 解：设A下滑后向左通过PN后的速度为v4，在A从最高点下滑向左通过PN的过程中，据动能定理可得mg×1.5L−μmgL=12mv42解得v4=2gL设B从C上滑回地面时B的速度为v5，C的速度为v6，从B球开始滑上C到再滑回地面的过程中，据动量守恒定律及机械能守恒定律分别可得mv2=mv5+mCv612mv22=12mv52+12mCv62联立解得v5=122gL由于v4>v5，故两球能再次相遇。

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