题目

如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(2，0)，(0，3)，抛物线M1：y=-x2+bx+c经过B，C两点．抛物线的顶点为D。 （1） 求抛物线M1的表达式和点D的坐标 （2） 点P是抛物线M1对称轴上一动点，当△CPA为等腰三角形时，求所有符合条件的点P的坐标； （3） 如图，现将抛物线M1进行平移，保持顶点在直线CD上，若平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点．设平移后抛物线的顶点横坐标为m，求m的值或取值范围．。 答案： 解：把点B（2，3）、C（0，3）分别代入y＝-x2+bx+c，得 { − 4 + 2 b + c = 3 c = 3 解得 { b = 2 c = 3 ， 则该抛物线的解析式为：y＝-x2+2x+3； 顶点D(1，4） 解：设P（1，t）， A C 2 = 9 + 4 = 13 ， A P 2 = 1 + t 2 ， C P 2 = 1 + ( t − 3 ) 2 ①当AC=AP时， 13 = 1 + t 2 ， t = ± 2 3 ，∴P(1， 2 3 )或P(1，- 2 3 ) ②当AC=CP时， 13 = 1 + ( t − 3 ) 2 ， t = 3 ± 2 3 ，∴P(1，3+ 2 3 )或P(1，3- 2 3 ) ③当AP=CP时， 1 + t 2 = 1 + ( t − 3 ) 2 ， t = 1.5 ，∴P(1，1.5)，此时A、C、P共线，故舍去. 综上所述，符合条件的点P的坐标为(1， 2 3 )或P(1，- 2 3 )或(1，3+ 2 3 )或P(1，3- 2 3 ). 解：∵C（0，3）、D（1，4）， ∴易得直线CD的解析式为：y＝x+3，移动中抛物线的顶点为（m，m+3），则抛物线为y＝-（x﹣m）2+m+3， 又B（2，3），D（1，4）， 将B（2，3）代入，m2-5m+4＝0， 解得m＝1，m＝4， ∴1<m≤4 又 { y = − x + 5 y = − ( x − m ) 2 + m + 3 ∴x2+（﹣2m-1）x+m2-m+2＝0， ∵△＝（﹣2m-1）2﹣4（m2-m+2）＝0， 解得 m = 7 8 ∴顶点横坐标h的值或取值范围为1<m≤4或 m = 7 8

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