题目

在平面直角坐标系 中，过椭圆  右焦点的直线 交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）已知 ， 为 上的两点，若四边形 的对角线 ，求四边形 面积的最大值. 答案：解：（Ⅰ）把右焦点 (c，0) 代入直线 x+y−3=0 ，得 c=3 . 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， AB 的中点为 P(x0，y0) ，则 x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1 ，相减得 x12−x22a2+y12−y22b2=0 ，即 y22−y12x22−x12=(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=−b2a2 ， 即 2y02x0⋅kAB=−b2a2 ，即 kOP⋅kAB=−b2a2 . 又 kOP=12，kAB=−1 ，则 a2=2b2. 又 a2=b2+c2=b2+3 ，解得 b2=3，a2=6 ， 故椭圆 M 的方程为 x26+y23=1 . （Ⅱ）联立 {x26+y23=1，x+y−3=0， 消去 y ，可得 3x2−43x=0 ，解得 x=0 或 x=433 . 故交点为 A(0，3)，B(433，−33) ， 所以 |AB|=(433−0)2+(−33−3)2=463 因为 CD⊥AB ，所以可设直线 CD 的方程为 y=x+t ， C(x3，y3)，D(x4，y4) ， 因为直线 AB 与直线 CD 有交点，所以 −533<t<3 联立 {x26+y23=1，y=x+t， 消去 y ，可得 3x2+4tx+2t2−6=0 ， 因为直线 CD 与椭圆有两个不同的交点，则 △=16t2−12(2t2−6)=72−8t2>0 ， 解得 −3<t<3 ，所以 −533<t<3 又 kCD=1 ，则 |CD|=2|x1−x2|=439−t2 ， 故四边形的面积为 S=12|CD|⋅|AB|=8699−t2 ， 故当 t=0 时， S 取得最大值，最大值为 863 ， 所以四边形的面积的最大值为 863 .

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