题目

已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1， （1） 求f（x）的表达式； （2） 若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围． 答案： 解：设f（x）=ax2+bx+c∵f（0）=0∴c=0 ∴f（x）=ax2+bxf（x）+x+1=ax2+（b+1）x+1f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）=f（x）+x+1∴ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1∴ {2a+b=b+1a+b=1⇒{a=12b=12 ∴ f(x)=12x2+12x 解：f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立 ∴ 12x2+12 x＞a在x∈[﹣1，1]恒成立∴ a<12(x+12)2+(−18) 在x∈[﹣1，1]恒成立． [12(x+12)2−18]min=−18(−1≤x≤1) ∴ a<−18

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