题目

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC ， 点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E ， 作射线DE ， 过点C作BC的垂线，交射线DE于点F ， 连接AE ． （1） 依题意补全图形； （2） AE与DF的位置关系是； （3） 连接AF ， 小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF=°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法： 想法1：过点A作AG⊥CF于点G ， 构造正方形ABCG ， 然后可证△AFG≌△AFE…… 想法2：过点B作BG∥AF ， 交直线FC于点G ， 构造□ABGF ， 然后可证△AFE≌△BGC…… 请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）． 答案： 解: 补全图形如下： 【1】互相垂直 【1】45°；解:猜想∠DAF=45°； 想法1： 证明如下：如图2，过点A做AG⊥CF于点G， 依题意可知：∠B=∠BCG=∠CGA=90°， ∵AB=BC， ∴四边形ABCG是正方形， ∴AG=AB，∠BAG=90°， ∵点B关于直线AD的对称点为E， ∴AB=AE，∠B=∠AED=∠AEF=90°，∠BAD=∠EAD， ∴AG=AE， ∵AF=AF， ∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL）， ∴∠GAF=∠EAF， ∵∠BAG=90°， ∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF=90°， ∴∠EAD+∠EAF=45°． 即∠DAF=45°． 想法2： 证明如下：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G， 依题意可知：∠ABC=∠BCF=90°， ∴AB∥FG， ∵AF∥BG， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AF=BG，∠BGC=∠BAF， ∵点B关于直线AD的对称点为E， ∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90°，∠BAD=∠EAD， ∵AB=BC， ∴AE=BC， ∴Rt△AEF≌Rt△BCG （HL）， ∴∠EAF=∠CBG， ∵∠BCG=90°， ∴∠BGC+∠CBG=90°， ∴∠BAF+∠EAF=90°， ∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF=90°， ∵∠BAD=∠EAD， ∴∠EAD+∠EAF=45°， 即∠DAF=45°． 故答案为：45．

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