题目

直角坐标系 中，椭圆 ： 的焦距为 ，过点  . （1） 求椭圆 的方程； （2） 已知点 ，不经过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，线段 被直线 平分，且 .求直线 的方程. 答案： 解：设椭圆方程为 x2b2+3+y2b2=1 ，代入点 (3，12) ，得 b=1 ，故椭圆方程为 x24+y2=1 解：由条件知 OP ： y=12x ，设 l ： y=kx+m   (m≠0)  代入 x24+y2=1 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0  ， Δ>0x1+x2=−8km1+4k2  ， x1x2=4m2−41+4k2  AB 中点 (−4km1+4k2，m1+4k2) 在直线 OP 上 ，m1+4k2=−2km1+4k2  ， k=−12此时 x1+x2=2m ， x1x2=2m2−2PA⇀⋅PB⇀=0 ， (x1−2)(x2−2)+(−12x1+m−1)(−12x2+m−1)=0  54x1x2−m+32(x1+x2)+4+(m−1)2=0  解得 m=1 ，满足 Δ>0 ，故所求直线方程为 y=−12x+1

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