题目

已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位. （1） 求； （2） 若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 答案： 解：设z=a+bi，a,b∈R，z+2i=a+b+2i，因为z+2i为实数，所以b+2=0，即b=−2，所以z(1−2i)=(a−2i)(1−2i)=a−4−2(a+1)i，又因为z(1−2i)为纯虚数，所以a−4=0，即a=4，所以z=4−2i，所以z=42+(−2)2=25. 解：由（1）知，z¯=4+2i所以(z¯+mi)2=(4+2i+mi)2=16−(m+2)2+8(m+2)i，又因为(z¯+mi)2在复平面上所对应的点在第一象限，所以16−(m+2)2>08(m+2)>0 ，解得：−2<m<2，所以，实数m的取值范围为−2,2.

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