题目

如图为某种鱼饵自动投放器的装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口C处切线水平，AB管内有原长为R、下端固定的轻质弹簧．在弹簧上端放置一粒质量为m的鱼饵，解除锁定后弹簧可将鱼饵弹射出去．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，此时弹簧的弹性势能为6mgR （g为重力加速度）．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，求： （1） 鱼饵到达管口C时的速度大小v1： （2） 鱼饵到达管口C时对管子的作用力大小和方向： （3） 已知地面比水面高出1.5R，若竖直细管的长度可以调节，圆孤弯道管BC可随竖直细管﹣起升降．求鱼饵到达水面的落点与AB所在竖直线OO′之间的最大距离Lmax ． 答案： 解：鱼饵到达管口C的过程中弹簧的弹性势能转化为鱼饵的重力势能和动能，有： 6mgR=2.5mgR+12mv12 ，解得 v1=7gR ．答：鱼饵到达管口C时的速度大小为 7gR ； 解：设C处管子对鱼饵的作用力向下，大小设为F，根据牛顿第二定律有： mg+F=mv12R ，解得F=6mg，由牛顿第三定律可得鱼饵对管子的作用力F′=6mg，方向向上．答：鱼饵到达管口C时对管子的作用力大小为6mg，方向向上； 解：设AB长度为h，对应平抛水平距离为x，由机械能守恒定律有： 6mgR=mg(R+h−0.5R)+12mv2 ，由平抛运动的规律得，x=vt， 2.5R+h=12gt2 ，解得x= 2g(5.5R−h)2(2.5R+h)g = 2(5.5R−h)(2.5R+h) ，当h=1.5R时，x的最大值xmax=8R，则Lmax=xmax+R=9R．答：鱼饵到达水面的落点与AB所在竖直线OO′之间的最大距离为9R．

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