题目

已知 ，设函数 (I)若 ，求 的单调区间： (II)当 时， 的最小值为0，求 的最大值.注： …为自然对数的底数. 答案：解：(I) f(x)=ex−ax ， f'(x)=ex−a ， 当 a≤0 时， f'(x)=ex−a≥0 恒成立，函数单调递增； 当 a>0 时， f'(x)=ex−a=0 ， x=lna ，当 x∈(−∞,lna) 时， f'(x)<0 函数单调递减； 当 x∈(lna,+∞) 时， f'(x)>0 函数单调递增. 综上所述： a≤0 时， f(x) 在 R 上单调递增； a>0 时， f(x) 在 (−∞,lna) 上单调递减，在 (lna,+∞) 上单调递增. (II) f(x)=ex−ax−bx2+1≥0 在 x∈[0,+∞) 上恒成立； f(12)=e−12a−52b≥0 ，故 a+5b≤2e ， 现在证明存在 a,b ， a+5b=2e ，使 f(x) 的最小值为0. 取 a=3e4 ， b=5e4 ，（此时可使 f'(12)=0 ）， f'(x)=ex−a−bxx2+1,f''(x)=ex−b(x2+1)x2+1 ， b=5e4<1 ， 故当 x∈[0,+∞) 上时， (x2+1)x2+1≥1,ex≥1 ，故 f''(x)≥0 ， f'(x) 在 x∈[0,+∞) 上单调递增， f'(12)=0 ， 故 f(x) 在 [0,12) 上单调递减，在 (12,+∞) 上单调递增，故 f(x)min=f(12)=0 . 综上所述： a+5b 的最大值为 2e .

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