题目

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面 ． （1） 证明： ； （2） 若 ， ， ，求二面角 的余弦值． 答案： 证明：连接 BC1 ∵ 四边形 BB1C1C 为菱形    ∴BC1⊥B1C ，且 B1C∩BC1=O ∵AO⊥ 平面 BB1C1C ， B1C⊂ 平面 BB1C1C ∴AO⊥B1C ∵AO,BC1⊂ 平面 AOB ， AO∩BC1=O     ∴B1C⊥ 平面 AOB ∵AB⊂ 平面 AOB     ∴B1C⊥AB 解：作 OD⊥BC ，垂足为 D ，连接 OD,AD ∵ 四边形 BB1C1C 为菱形， ∠CBB1=60∘     ∴ΔCBB1 为等边三角形 又 BB1=BC=1     ∴OC=12 ， OB=32     ∴OD=OC⋅OBBC=34 ∵AO⊥ 平面 BB1C1C ， BC⊂ 平面 BB1C1C ∴BC⊥AO 又 OD⊥BC ， OD,AO⊂ 平面 AOD ， OD∩AO=O ∴BC⊥ 平面 AOD ∵AD⊂ 平面 AOD     ∴AD⊥BC ∴ 二面角 A−BC−B1 的平面角为 ∠ADO ∵AC⊥AB1 ， O 为 B1C 中点    ∴OA=12B1C=12BC=12 ∴AD=OD2+OA2=316+14=74   ∴cos∠ADO=ODAD=3474=217 ∴ 二面角 A−BC−B1 的余弦值为 217

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