题目

某公园有一个截面由抛物线和长方形构成的观景拱桥，如图所示，长方形的长为16米，宽为3米，抛物线的最高处C距地面7米. （1） 经过讨论，同学们得出如图所示的三种建立平面直角坐标系的方案，请从中选择一种求出抛物线的表达式； （2） 观景拱桥下有两根长为4.75米的对称安置的立柱，求这两根立柱的水平距离； （3） 现公园管理处打算，在观景拱桥的下方限高3.5米水平线上，两立柱间安装一个长8米的矩形广告牌 ，为安全起见，要求广告牌的最高处与拱桥的桥面之间的距离 不得小于0.35米，求矩形广告牌的最大高度 . 答案： 解：若选方案一， 依照题意 C(0,0) ， A(−8,−4) ， 设抛物线的解析式为 y=ax2 ， ∴ −4=a×(−8)2 . ∴ α=−116 ， ∴ y=−116x2 若选方案二，可有方案一的抛物线向上平移4个单位得到， 故方案二中的抛物线解析式为 y=−116x2+4 ； 若选方案三，根据图象看出，可有方案二中的解析式向左平移8个单位得到， 故方案三中的抛物线解析式为 y=−116(x−8)2+4 ； 解：若选方案一，依题意可得 −116x2=−(7−4.75) ， ∴ x=±6 ， ∴两根立柱的水平距离为12米； 选方案二，根据方案一，得两根立柱的坐标为（-6，-2.25）和（6，-2.25）， 只需将两个点的坐标向上平移4个单位即得到新坐标下的坐标，分别为（-6，1.75）和（6，1.75）， ∴两根立柱的水平距离为6-（-6）=12米； 选方案三，根据方案二，得两根立柱的坐标为（-6，1.75）和（6，1.75）， 只需将两个点的坐标向左平移8个单位即得到新坐标下的坐标，分别为（-14，1.75）和（-2，1.75）， ∴两根立柱的水平距离为-2-（-14）=12米； 解：若选方案一，当 x=4 时， y=−116x2=−1 ，即H的纵坐标为 −1 ， ∴ MF=7−3.5−1−0.35=2.15 米 故矩形广告牌的最大高度 MF 为2.15米. 选方案二 当 x=4 时， y=−116x2+4=3 ，即H的纵坐标为3， ∴ MF=3−0.5−0.35=2.15 米 故矩形广告牌的最大高度 MF 为2.15米. 选方案三 当 x=4 时， y=−116(x−8)2+4=3 ，即H的纵坐标为3， ∴ MF=3−0.5−0.35=2.15 米 故矩形广告牌的最大高度 MF 为2.15米.

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