题目

已知函数 （a∈R） （1） 讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性； （2） 若对任意的正整数[﹣1，1）都有 成立，求a的取值范围． 答案： 解：f′（x）= −ax+1−a+1(x+1)2=−ax+2a+1(x+1)2 ， 当a ≤12 时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当- 12 ＜a＜0时，f（x）在（0， −2a+1a ）上单调递减，在（ −2a+1a ，+∞）上单调递增；当a≥0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减． 解： (1+1n)n−a>e ⇔ (1−an)ln(1+1n)−1n ＞0． 令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需对∀x∈（0，1]，有g（x）＞0．g′（x）=f（x）=﹣aln（x+1）+ a+1x+1 ﹣a﹣1．由（1）可知，①当 a≤12 时，g（x）在（0，1]上单调递增，g（x）＞g（0）=0，符合题意；②当a≥0，g（x）在（0，1]上单调递减，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；③当- 12 ＜a ≤13 时，g（x）在（0， −2a+1a ）上单调递减，∴当x∈（0，﹣ 2a+1a ）时，g（x）＜g（0），不符合题意；④当 −13 ＜a＜0时，g（x）在（0，1]上单调递减，∴当x∈（0，1]时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．综上可知，a的取值范围为（﹣∞，﹣ 12 ]

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