题目

如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD. （1） 求证：四边形ABCD是矩形； （2） 若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数. 答案： 证明：∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角， ∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO. ∴∠OAD＝∠ADO. ∴AO＝OD.  又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形. 证明：设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x， 在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180° ∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°， ∴∠ODC=3×18°=54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°， ∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.

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