题目

如图，∠BCD＝90°，BC＝CD ， CD⊥AD ， AC、BD交于点E ， DA＝DE ， BN平分∠DBC ， 交AC于点M ， 交DC于点N ． （1） 求∠ACD的度数； （2） 求证：DB＝DA+DC； （3） 求证：AE＝2MN ． 答案： 解：∵∠BCD＝90°，BC＝CD，∴BC⊥CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BN平分∠DBC，∴∠NBC＝12∠DBC＝22.5°，∴∠BNC＝90°﹣∠NBC＝67.5°，∵CD⊥AD，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠AED，∴∠AED＝∠BCA，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCA，∴BE＝BC，∵BN平分∠DBC，∴BN⊥AC，∴∠ACD＝90°﹣∠BNC＝22.5° 证明：由（1）得，BE＝BC＝CD，∵BD＝BE+DE，∴DB＝DA+DC； 证明：如图，过点D作DH⊥AE于点H，在△BCN和△CDA中，{∠NBC=∠ACD=22.5°BC=CD∠BCN=∠CDA=90°，∴△BCN≌△CDA（ASA），∴CN＝DA，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴DE＝CN，AE＝2HE，∠HDE＝12∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC＝45°，∴∠HDE＝22.5°＝∠NCM，在△HDE和△MCN中，{∠DHE=∠CMN=90°∠HDE=∠NCMDE=CN，∴△HDE≌△MCN（AAS），∴HE＝MN，∴AE＝2MN．

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