题目

设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3． （1） 求抛物线的标准方程； （2） 设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程． 答案： 解：设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），准线方程为y=﹣ p2 ，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+ p2 ）=8，解得p=2，即有抛物线的方程为x2=4y； 解：设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得x2﹣4kx﹣24=0，设P（x1， x124 ），Q（x2， x224 ），可得x1+x2=4k，x1x2=﹣24，由y= 14 x2的导数为y′= 12 x，设R（t，﹣1），可得kPR= x124+1x1−t = 12 x1，可得t= 12 x1﹣ 2x1 ，再由Q，F，R共线，可得 2−t = x224−1x2 ，消去t，可得 4x14−x12 = x22−44x2 ，即有16x1x2=4（x12+x22）﹣16﹣（x1x2）2，即有16×（﹣24）=4[（4k）2+2×24]﹣16﹣242，解方程可得k=± 12 ，即有直线m的方程为y=± 12 x+6

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