题目

已知为等差数列， ， 记 ， 为的前n项和， ， （1） 求的通项公式. （2） 证明：当n>5时，>. 答案： ∵ 数列an为等差数列，设首项为a1公差d， 由bn={an−6，n为奇数2an，n为偶数 ∴b1=a1-6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3-6=(a1+2d)-6 由等差数列前n项和公式得S4=4a1+6d=32，........① T3=b1+b2+b3=4a1+4d=16，........② 联立①②，解得a1=5，d=2， ∴an为通项公式为an=3+2n 由（1）知Sn=na1+n(n-1)d2=n2+4n， ∵bn=an-6，n为奇数2an，n为偶数，∴bn=2n-3，n为奇数4n+6，n为偶数， ①当n为偶数且n>5，此时Tn=b1+b2+b3+b4+⋯+bn-1+bn=(b1+b3+⋯+bn-1）+(b2+b4+⋯+bn) =-1+3+⋯+2(n-1)-3+14+22+⋯+(4n+6)=(-1)+2(n-1)-3×n22+(14)+(4n+6)×n22 =32n2+72n 则Tn-Sn=32n2+72n-n2+4n=12n2-n=12nn-1>0，即Tn>Sn ②当n为奇数且n>5，此时Tn=b1+b2+b3+b4+⋯+bn-1+bn=(b1+b3+⋯+bn）+(b2+b4+⋯+bn-1) =-1+3+⋯+(2n-3)+14+22+⋯+4(n-1)+6=(-1)+2n-3×n+122+14+4(n-1)+6×n-122 =32n2+52n-5 则Tn-Sn=32n2+52n-5-n2+4n=12n2-3n-10=12n+2n-5>0，即Tn>Sn ∴综上所述，当n>5时，Tn>Sn.

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