题目

如图所示，一足够大的光滑绝缘水平桌面上建一直角坐标系xOy，空间存在垂直桌面向下的匀强磁场。一带电小球A（可视为质点）从坐标原点O以速度v沿着x轴正方向入射，沿某一轨迹运动，从（0，d）坐标向左离开第I象限。若球A在第I象限的运动过程中与一个静止、不带电的小球B（可视为质点）发生弹性正碰，碰后两球电量均分，球B的速度是球A的3倍。若不论球B初始置于何处，球A碰后仍沿原轨迹运动。球A、B的质量之比为3：1，不计两球之间的库仑力。 （1） 判断带电小球A的电性并求出碰后球B的速度大小； （2） 若两球碰后恰好在（ ， ）坐标首次相遇，求球B在第I象限初始位置的坐标； （3） 若将球B置于（ ， ）坐标处，球A、B碰后，在球B离开第I象限时撤去磁场，再过时间Δt恢复原磁场，要使得两球此后的运动轨迹没有交点，求Δt的最小值。 答案： 解：球A带正电荷 碰撞前后球A运动半径 r1=d2 保持不变 qvB=m1 v2r1       12qv1B=m1v12r1   碰后球A速度v1= 12 v    v2=3v1= 32 v 解：由 12qv2B=m2v22r2   解得 r2=r1=12d   如图1所示，设两球从碰撞位置运动到（－ d2 ， d2 ）半径所夹圆心角是α，球B比球A多转2π，两球角速度之比1:3，α+2π=3α 解得α=π，所以球B被碰时在第一象限的位置为（ d2 ， d2 ）      解：如图2所示，球B离开第一象限时，两球运动轨迹半径所夹圆心角是60°。磁场消失后，各自沿着图中速度方向做匀速直线运动，当磁场恢复后，两球又做匀速圆周运动，且半径相等都是 d2 。 撤去磁场时，两球运动轨迹的圆心位置均为图3中的M点，恢复磁场，当两球的圆形运动轨迹恰好相切时，△t为最小，此时球A、B的圆心位置分别为N、S。 MN¯:MS¯  =1:3， MN¯=v1Δt ； MS¯=v2Δt 见图3，根据余弦定理可得：△t= 27d7v

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