题目

已知数列 中， ， 且 ， ， 成等差数列. （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 ，且数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）由题意， a3=q,a4=3q,a5=q2         ∴ 3+q,4q,q2+3q 成等差数列 ∴ 8q=3+q+q2+3q ，解得 q=1 （舍去）， q=3   ∴ an+2=3an ，设 k∈N* ，则 a2k−1=a1qk−1=3k−1,a2k=a2qk−1=3k 令 2k−1=n ，则 k=n+12 ，∴ an=3n−12 令 2k=n ，则 k=n2 ，∴ an=3n2 ∴ an={3n−12(n为奇数）3n2（n为偶数）    （Ⅱ） bn=log3a2na2n+1=log33n3n=n3n   Sn=1×13+2×(13)2+3×(13)3+⋯+n×(13)n−1 ∴ 13Sn=1×(13)2+2×(13)3+3×(13)4+⋯+n×(13)n ∴ 23Sn=1×13+1×(13)2+1×(13)3+⋯+1×(13)n−1−n×(13)n   =13(1−(13)n)1−13−n3n+1=12(1−(13)n)−n3n+1 ∴ Sn=34(1−(13)n)−n2×3n ∴ λ<34(1−(13)n) 对一切 n∈N* 恒成立 ∵ f(n)=34(1−(13)n) 为增函数， f(n)≥f(1)=12   ∴ λ<12 ，即 λ 的取值范围是 (−∞,12)

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