题目

已知等比数列 的公比 ，且 ， . （1） 求数列 的通项公式； （2） 设 ， 是数列 的前 项和，对任意正整数 不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 答案： 解：设数列 {an} 的公比为 q ，则 {a1(1+q2)=20a1q=8 ，∴ 2q2−5q+2=0∵ q>1 ，∴ {a1=4q=2 ，∴数列 {an} 的通项公式为 an=2n+1 解： bn=n2n+1∴ Sn=122+223+324+⋯+n2n+1  12Sn=   123+224+⋯+n−12n+1+n2n+2∴ 12Sn=122+123+124+⋯12n+1−n2n+2∴ Sn=121+122+123+⋯12n−n2n+1 = 12−12n+112−n2n+1=1−n+22n+1∴ (−1)n⋅a<1−12n 对任意正整数 n 恒成立，设 f(n)=1−12n ，易知 f(n) 单调递增．n 为奇数时， f(n) 的最小值为 12 ，∴ −a<12 得 a>−12 ，n 为偶数时， f(n) 的最小值为 34 ，∴ a<34 ，综上， −12<a<34 ，即实数 a 的取值范围是 (−12，34)

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