题目

在底面是正方形的四棱锥 中, , ,点 在 上,且 . （Ⅰ）求证: 平面 ; （Ⅱ）求二面角 的余弦值. 答案：解： （Ⅰ）正方形ABCD边长为1,PA=1, PB=PD=2 ， 所以 ∠PAB=∠PAD=90∘ ，即 PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A ， 根据直线和平面垂直的判定定理，有 PA⊥ 平面 ABCD . （Ⅱ）如图，以A为坐标原点，直线 AB、AD、AP 分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则 AC→=(1,1,0),AE→=(0,23,13) ， 由(1)知 AP→ 为平面ACD的法向量, AP→=(0,0,1) ， 设平面ACE的法向量为 n→=(a,b,c) ， 则 {a+b=023b+13c=0  令 c=6 ,则 b=−3,a=3,n→=(3,−3,6) , 设二面角 D−AC−E 的平面角为 θ ,则 |cosθ|=|n→⋅AP→||n→|⋅|AP→| = 63 ， 又有图可知， θ 为锐角， 故所求二面角的余弦值为 63

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