题目

已知函数 ． （1） 求证： ； （2） 用 表示 中的最大值，记 ，讨论函数 零点的个数． 答案： 证明：设 φ(x)=f(x)−[14(1x−1)2+a]=lnx+1x−1 ，定义域为 (0,+∞) ， 则 φ′(x)=1x−1x2=x−1x2 . 当 0<x<1 时， φ′(x)<0 ；当 x>1 时， φ′(x)>0 ， 故 φ(x) 在 (0,1) 内是减函数，在 (1,+∞) 内是增函数， 所以 x=1 是 φ(x) 的极小值点，也是 φ(x) 的最小值点， 所以 φ(x)⩾φ(x)min=φ(1)=0 ，所以 f(x)≥14(1x−1)2+a 解：函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， f′(x)=1x−12x3−12x2=2x2−x−12x3=(2x+1)(x−1)2x3 ， 当 0<x<1 时， f′(x)<0 ；当 x>1 时， f′(x)>0 ， 所以 f(x) 在 (0,1) 内是减函数，在 (1,+∞) 内是增函数， 所以 x=1 是 f(x) 的极小值点，也是 f(x) 的最小值点， 即 f(x)min=f(1)=a 若 a=0 ，则 f(x)−g(x)=14x2+12x−34=−(x−1)(3x+1)4x2 ， 当 0<x<1 时， f(x)>g(x) ；当 x=1 时， f(x)=g(x) ； 当 x>1 时， f(x)<g(x) . 所以 h(x)={f(x),0<x<1g(x),x⩾1 ，于是 h(x) 只有一个零点 x=1 . 当 a>0 ，则当 0<x⩽1 时， f(x)>g(x) ，此时 h(x)=f(x)⩾a>0 ， 当 x>1 时， f(x)>a>0 ， g(x)>0 ，此时 h(x)>0 所以 h(x) 没有零点. 当 a<0 ，则当 0<x<1 时，根据（1）可知， f(x)≥14(1x−1)2+a 而 0<12−a+1<1 ，所以 f(12−a+1)>14(2−a+1−1)2+a=0 又因为 f(x)min=f(1)=a<0 ，所以 f(x) 在 (0,1) 上有一个零点 x0 ， 从而一定存在 c∈(x0,1) ，使得 f(c)=g(c) ， 即 14c2+12c−34+a=0 ，所以 34−a=14c2+12c . 当 x>c 时， g(x)−f(x)=−14x2−12x+34−a=−14x2−12x+14c2+12c=−c−x4cx(c+xcx+2)>0 ， 所以 g(x)>f(x) ，从而 h(x)={f(x),0<x⩽cg(x),x>c ， 于是 h(x) 有两个零点 x0 和1. 故当 a<0 时， h(x) 有两个零点. 综上，当 a=0 时， h(x) 有一个零点，当 a>0 时， h(x) 没有零点，当 a<0 时， h(x) 有两个零点.

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