题目

对于正实数a，b（），我们熟知基本不等式： ， 其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数.现定义a，b的对数平均数：. （1） 设 ， 求证： ， 并证明； （2） 若不等式对任意正实数a，b（）恒成立，求正实数m的取值范围. 答案： 证明：令f(x)=lnx−12(x−1x)，定义域为(0，+∞).则f′(x)=1x−12−12x2=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2.所以当x>1时，f′(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减.又f(1)=0，所以当x>1时，f(x)<0.所以当x>1时，lnx<12(x−1x)，即2lnx<x−1x.（*）要证G(a，b)<L(a，b)，只需证ab<a−blna−lnb，只需证lnab<a−bab，即证2lnab<ab−ba.令t=ab(t>1)，则由（*），得2lnt<t−1t.所以2lnab<ab−ba，即G(a，b)<L(a，b). 解：由G(a，b)+A(a，b)<m⋅L(a，b)恒成立，得m⋅a−blna−lnb<ab+a+b2恒成立，即m⋅ab−1lnab<ab+12(ab+1)恒成立.令t=ab(t>1)，由m⋅t2−12lnt<t+12(t2+1)恒成立，得m⋅t−12lnt<12(t+1)恒成立.所以m⋅t−1t+1−lnt<0恒成立.令g(t)=m⋅t−1t+1−lnt(t>1)，则g′(t)=m⋅2(t+1)2−1t=2mt−(t+1)2(t+1)2⋅t=−t2+2(m−1)t−1(t+1)2⋅t.（注：g(1)=0）i.当Δ>0，即m>2时，易知方程−t2+2(m−1)t−1=0有一根t1大于1，一根t2小于1，所以g(t)在(1，t1)上单调递增.所以g(t1)>g(1)=0，不符合题意.ii.当0<m≤2时，有2mt−(t+1)2≤4t−(t+1)2=−(t−1)2<0，所以g′(t)<0，从而g(t)在(1，+∞)上单调递减.故当t>1时，恒有g(t)<g(1)=0，符合题意.综上可知，正实数m的取值范围为0<m≤2.

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