题目

已知 是椭圆 上的两个点， 是坐标原点，若 . （1） 求证： ； （2） 求 的面积的最大值； 答案： 解：证明：以原点为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，如图则椭圆的极坐标方程为 ρ2cos2θa2+ρ2sin2θb2=1 ，设 OM=ρM ， ON=ρN ，则 M 的极坐标可设为 M(ρM,α) ，其中，不妨设 α∈（0°， 90°） ，则 N 的极坐标 M(ρN,α+90°) ，因此， 1ρM2=cos2αa2+sin2αb2 ，同理 1ρN2=sin2αa2+cos2αb2 ，所以， 1OM2+1ON2=cos2αa2+sin2αb2+sin2αa2+cos2αb2=a2+b2a2b2 解：由（1）知 OM2=a2b2a2sin2α+b2cos2α ，ON2=a2b2a2cos2α+b2sin2α ，设 ΔOMN 的面积的为 S ，则 S2=a4b4(a2sin2α+b2cos2α)(a2cos2α+b2sin2α)=a4b4(a4+b4)sin22α+4a2b2(sin4α+cos4α)=a4b4(a4+b4)sin22α+4a2b2−2a2b2sin22α=a4b4(a2−b2)2sin22α+4a2b2≤a4b4(a2−b2)2+4a2b2=a4b4(a2+b2)2 ，当 sin22α=1 ，即 α=45° 时等号成立.所以， ΔOMN 的面积的的最大值为 a2b2a2+b2

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