题目

如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， 为 中点． （1） 求证： 平面 ； （2） 求证： 平面 ； （3） 求四棱锥 的体积． 答案： 证明：取 PC 中点 F ，连 EF ， DF ， ∵ E 为 PB 中点， 故 EF//BC ， EF=12BC 由已知， AD//BC ，且 AD=12BC ， 故 AD//EF ，且 AD=EF ， 四边形 AEFD 是平行四边形， AE//DF ， ∵ AE⊄ 平面 PCD ， DF⊂ 平面 PCD ， 故 AE// 平面 PCD ； 证明：因为 AD⊥ 平面 PCD ， 直线 PD⊂ 平面 PCD ，所以 AD⊥PD ； 又因为 BC//AD ，所以 PD⊥BC ， 又 PD⊥PB ， BC∩PB=B ， PB，BC⊂ 平面 PBC 所以 PD⊥ 平面 PBC ． 过点 P 作 CD 的垂线交 CD 于点 G ，因为 AD⊥ 平面 PDC ， AD⊂ 平面 ABCD ，所以平面 ABCD⊥ 平面 PDC ，又平面 ABCD∩ 平面 PDC=CD ， PG⊥CD ， PG⊂ 平面 PDC 所以 PG⊥ 平面 ABCD 由（2）知 ∠CPD=90° ，故 PC=CD2−PD2＝23 ，所以 PG=PC×PDCD=3 ， 四棱锥 P-ABCD 的体积 V＝13×SABCD×PG＝13×AD+BC2×CD×PG＝23

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