题目

我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线 （n为常数）对称，则把该函数称之为“ 函数”. （1） 在下列关于x的函数中，是“ 函数”的是（填序号）； ① ，② ，③ （2） 若关于x的函数 （h为常数）是“ 函数”，与 （m为常数， ）相交于A（ ， ）、B（ ， ）两点，A在B的左边， ，求m的值； （3） 若关于x的“ 函数” （a，b为常数）经过点（ ，1），且 ，当 时，函数的最大值为 ，最小值为 ，且 ，求t的值. 答案： 【1】② ③ 解：∵y＝|x-h|是“X（3）”函数， ∴h＝3， 如图，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点， ∴C（3，0），D（0，﹣3）， ∴∠BCN＝∠OCD＝45°， 由对称性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∵xB﹣xA＝5， ∴MN＝5， 设CN＝x，则MC＝5﹣x， ∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x）， ∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0， ∴x＝1， ∴B（4，1）， ∴m＝4； 解：由题意得 {a−b+4=1−b2a=1 ， 解得 {a=−1b=2 ， ∴此“X（n）函数”为y＝﹣x2+2x+4， ①当t＜1时， x＝t时，y1＝﹣t2+2t+4， x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， y1﹣y2＝（﹣t2+2t+4）﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝﹣2t+3＝ 12 ， ∴t＝ 54 （舍）； ②当t﹣1≥1，即t≥2时， x＝t﹣1时，y1＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， x＝t时，y2＝﹣t2+2t+4， y1-y2＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4﹣（﹣t2+2t+4）＝2t﹣3＝ 12 ， ∴t＝ 74 （舍）； ③当1≤t＜ 32 时， x＝1时，y1＝5， x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， y1﹣y2＝5﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝t2﹣4t+4＝ 12 ， ∴t＝ 2±22 ，又因为1≤t＜ 32 ， ∴t＝ 2−22 ④ 32 ≤t＜2时，  x＝1时，y1＝5， x＝t时，y2＝﹣t2十2t+4， y1﹣y2＝5﹣（﹣t2+2t+4）＝t2﹣4t+4＝ 12 ， ∴t＝ 1±22 ，又因为 32 ≤t＜2， ∴t＝ 1+22 综上所述：t＝ 2−22 或t＝ 1+22 .

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