题目

如图，已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为CE的中点． （1） 求直线AF与平面ACD所成的角； （2） 求证：平面BCE⊥平面DCE． 答案： 解：取CD的中点G，连接AG，FG，则FG是△CDE的中位线，∴FG∥DE，又∵DE⊥平面ACD，∴FG⊥平面ACD，∴∠AFG为直线AF与平面ACD所成的角，设AC=AD=CD=DE=2AB=2，则FG= 12 DE=1，AG= 3 ，∴tan∠AFG= AGFG = 3 ，∴∠AFG=60°，即直线AF与平面ACD所成的角为60° 证明：∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，AB⊥AD，AB⊥AG，设AC=AD=CD=DE=2AB=2，在直角梯形ABED中，BE= 22+(2−1)2 = 5 ，BC= AB2+AC2 = 5 ，∴BC=BE，又F是CE的中点，∴BF⊥CE，∵AB =∥12 DE，FG =∥12 DE，∴AB =∥ FG，∴四边形ABFG是平行四边形，又AB⊥AG，∴四边形ABFG是矩形，∴BF⊥FG，又CE∩FG=F，∴BF⊥平面CDE，又BF⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面DCE．

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