题目

如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G． （1） 若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形； （2） 若点G与点C重合，求线段MG的长； （3） 请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值． 答案： 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠MDF=90°，∵M为边AD中点，∴MA=MD在△MAE和△MDF中，{∠A=∠MDFMA=MD∠AME=∠DMF∴△MAE≌△MDF（ASA），∴EM=FM，又∵MG⊥EM，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形； 解：如图1，∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，∵CM2=EC2﹣EM2，∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，∴CM= 19−a2 ．∵AB∥CD，∴∠AEM=∠MFD，又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，∴∠AME=∠MCD，∵∠MAE=∠CDM=90°，∴△MAE∽△CDM，∴ DMAE = CDAM ，即 4−a1 = 3a ，解得a=1或3，代入CM= 19−a2 ．得CM=3 2 或 10 ． 解：①当点M在AD上时，如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a∴EM= AE2+AM2 = 1+a2 ，MD=AD﹣AM=4﹣a，∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，∴△MAE∽△MDF∴ AMDM = EMFM ，∴ a4−a = 1+a2FM ，∴FM= 4−aa 1+a2 ，∴EF=EM+FM= 1+a2 + 4−aa 1+a2 = 4a 1+a2 ，∵AD∥BC，∴∠MGN=∠DMG，∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，∴∠AME=∠DMG，∴∠MGN=∠AEM，∵∠MNG=∠MAE=90°，∴△MNG∽△MAE∴ AMMN = EMMG ，∴ a3 = 1+a2MG ，∴MG= 3a 1+a2 ，∴S= 12 EF•MG= 12 × 4a 1+a2 × 3a 1+a2 = 6a2 +6，即S= 6a2 +6，当a= 6 时，S有最小整数值，S=1+6=7．②当点M在AD的延长线上时，如图3，作MN⊥BC，交BC延长线于点N，∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a∴EM= AE2+AM2 = 1+a2 ，MD=a﹣4，∵DC∥AB，∴△MAE∽△MDF∴ AMDM = EMFM ，∴ aa−4 = 1+a2FM ，∴FM= a−4a 1+a2 ，∴EF=EM﹣FM= 1+a2 ﹣ a−4a 1+a2 = 4a 1+a2 ，∵∠AME+∠EMN=90°，∠NMG+∠EMN=90°，∴∠AME=∠NMG，∵∠MNG=∠MAE=90°，∴△MNG∽△MAE∴ AMMN = EMMG ，∴ a3 = 1+a2MG ，∴MG= 3a 1+a2 ，∴S= 12 EF•MG= 12 × 4a 1+a2 × 3a 1+a2 = 6a2 +6，即S= 6a2 +6，当a＞4时，S没有整数值．综上所述当a= 6 时，S有最小整数值，S=1+6=7．

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