题目

      （1） 用定义法证明：函数 是 上的增函数. （2） 判断函数 的奇偶性并证明. 答案： 证明：任取 x1，x2∈(−1，+∞) ，令 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=x1+1x1+2−x2−1x2+2=x1−x2+x2−x1(x1+2)(x2+2) =(x1−x2)[1−1(x1+2)(x2+2)] . 因为 x1，x2∈(−1，+∞) ，且 x1<x2 ， 所以 x1−x2<0 ， (x1+2)(x2+2)>1 ， 1−1(x1+2)(x2+2)>0 ， 即 f(x1)−f(x2)<0 ， f(x1)<f(x2) . 故 f(x) 是 (−1，+∞) 上的增函数. 解： g(x) 是奇函数. 证明如下： 由题知 g(x) 的定义域为 R ，关于原点对称，且 g(0)=0 . 当 x>0 时， g(−x)=−x−1−x−1−1=−(x−1x+1+1)=−g(x) ； 当 x<0 时， g(−x)=−x−1−x+1+1=−(x−1x−1−1)=−g(x) . 综上， g(x) 是奇函数.

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