题目

已知函数 ， 曲线在点处的切线斜率为 ， 在点处的切线经过原点. （1） 求实数的值； （2） 若有两个根 ， 求证：. 答案： 解：由题可知f(x)=(x−m+1)ex−1，由f(1)=e−1得：(2−m)e−1=e−1，故m=1，∴f(x)=xex−1，f(x)=(x−1)ex−x+n，∴f(0)=−1，f(0)=n−1，∴函数f(x)在x=0处的切线为y=−x+n−1，因为y=−x+n−1过原点，所以n=1，故m=1，n=1. 解：由（1）可得函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y=(e−1)(x−1)，函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y=−x，①首先证明f(x)⩾(e−1)(x−1)，f(x)⩾−x，即证函数f(x)图象始终在(1，f(1))､(0，f(0))处的切线上方，设h(x)=f(x)−(e−1)(x−1)=(ex−e)(x−1)，当x⩾1时，指数函数y=ex单调递增，故ex⩾e，故(ex−e)(x−1)⩾0，当x<1时，指数函数y=ex单调递增，故ex<e，故(ex−e)(x−1)>0，于是，对x∈R，(ex−e)(x−1)⩾0，即f(x)⩾(e−1)(x−1)，设g(x)=f(x)−(−x)=xex−ex+1，g(x)=xex，由g(x)⩾0得x⩾0；由g(x)⩽0得x⩽0，故g(x)在x∈(−∞，0]上单调递减，在x∈[0，+∞)上单调递增，故g(x)⩾g(0)=0，即f(x)⩾−x，这样一来，f(x)⩾(e−1)(x−1)，f(x)⩾−x.②再证明x2−x1⩽ae+e−1e−1.由①可知f(x)⩾(e−1)(x−1)，f(x)⩾−x，这意味着f(x)图象被夹在切线y=(e−1)(x−1)和y=−x之间，设y=−x，y=(e−1)(x−1)与y=a的交点分别为x3，x4，则x3⩽x1<x2⩽x4，于是x2−x1⩽x4−x3，由{y=(e−1)(x−1)y=a与{y=−xy=a，解得x3=−a，x4=ae−1+1，∴x2−x1⩽x4−x3=ae−1+1−(−a)=ae+e−1e−1，当且仅当x2=x4，x1=x3，即方程f(x)=a的两个根与切点恰好重合时取等号，此时，a=0，从而x2−x1⩽ae+e−1e−1.

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