题目

利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：材料一：已知m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值.解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，∴（m-n）2+（n-4）2=0，∵（m-n）2≥0，（n-4）2≥0∴（m-n）2=0，（n-4）2=0∴m=n=4.材料二：探索代数式x2+4x+2与-x2+2x+3是否存在最大值或最小值？①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2.∴代数式x2+4x+2有最小值-2；②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，∵-（x-1）2≤0，∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4.∴代数式-x2+2x+3有最大值4.学习方法并完成下列问题： （1） 代数式x2-6x+3的最小值为； （2） 如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？ （3） 已知△ABC的三条边的长度分别为a，b，c，且a2+b2+74=10a+14b，且c为正整数，求△ABC周长的最小值. 答案： 【1】-6 解：由题意，长方形平行于围墙的一边长度为（100-2x）米花圃的最大面积为：x(100−2x)平方米∵x(100−2x)=−2(x2−50x+625)+1250=−2(x−25)2+1250，且−2(x−25)2≤0∴−2(x−25)2+1250≤1250所以花圃的最大面积为1250平方米 解：∵a2+b2+74=10a+14b∴（a2-10a+25）+（b2-14b+49）=0即(a−5)2+(b−7)2=0∵(a−5)2≥0，(b−7)2≥0∴(a−5)2=0，(b−7)2=0即a−5=0，b−7=0∴a=5，b=7根据三角形三边的不等关系，7-5<c<7+5即2<c<12∵c为正整数∴c=3，4，5，6，7，8，9，10，11这几个数∵△ABC的周长为a+b+c=12+c∴当c=3时，△ABC的周长最小，且最小值为12+3=15

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