题目

如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上． （1） 求抛物线的解析式． （2） 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标． （3） 如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应） 答案： 解：∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．∴{9a+3b+c=016a+4b+c=4c=0解得：{a=1b=−3c=0故抛物线的解析式为：y=x2-3x 解：设直线OB的解析式为y=k1x（ k1≠0），由点B（4，4）得4=4 k1，解得k1=1．∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°．∵B（4，4），∴点B向下平移m个单位长度，所以平移后的一次函数的解析式为：y=x-m。又因为平移后的直线与抛物线只有一个交点D，所以x²-3x=x-m，化简得，x²-4x+m=0，只有一个解，Δ=0.Δ=4²-4m=0，故m=4．∴平移m个单位长度的直线为y=x-4．解方程组 {y=x2−3xy=x−4解得：{x=2y=−2∴点D的坐标为（2，-2） 解：∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0）．∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）．设直线A′B的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）．∴4k2+3=4，解得 k2= 14 ．∴直线A′B的解析式为y= 14 x+3．∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上，设点N（n， 14 n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，∴ 14 n+3=n2-3n．解得 n1=- 34 ，n2=4（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（- 34 ， 4516 ）．如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则 N1（- 34 ，- 4516 ），B1（4，-4）．∴O、D、B1都在直线y=-x上．过D点做DP1∥N1B1，∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1，∴P1为O N1的中点．∴ OPON = ODOB = 12 ，∴点P1的坐标为（- 38 ，- 4532 ）．将△P1OD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，∴此点坐标为：（ 4532 ， 38 ）．综上所述，点P的坐标为（- 38 ，- 4532 ）和（ 4532 ， 38 ）

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