题目

已知函数 . （1） 若 ，求曲线在 点处的切线方程； （2） 若曲线 与直线 只有一个交点，求实数 的取值范围. 答案： 解： f(x)=x3−x2 ， f'(x)=3x2−2x ， f'(1)=3−2=1 ，所以切线方程为 y=x−1 . 解：曲线 y=f(x) 与直线 y=x−1 只有一个交点，等价于关于 x 的方程 ax2=x3−x+1 只有一个实根. 显然 x≠0 ，所以方程 a=x−1x+1x2 只有一个实根. 设函数 g(x)=x−1x+1x2 ，则 g'(x)=1+1x2−2x3=x3+x−2x3 . 设 h(x)=x3+x−2 ， h'(x)=3x2+1>0 ， h(x) 为增函数，又 h(1)=0 . 所以当 x<0 时， g'(x)>0 ， g(x) 为增函数； 当 0<x<1 时， g'(x)<0 ， g(x) 为减函数； 当 x>1 时， g'(x)>0 ， g(x) 为增函数； 所以 g(x) 在 x=1 时取极小值 1 . 又当 x 趋向于 0 时， g(x) 趋向于正无穷； 又当 x 趋向于负无穷时， g(x) 趋向于负无穷； 又当 x 趋向于正无穷时， g(x) 趋向于正无穷.所以 g(x) 图象大致如图所示： 所以方程 a=x−1x+1x2 只有一个实根时，实数a的取值范围为 (−∞,1) .

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